In questa pagina affrontiamo un esercizio fondamentale per capire la differenza tra i numeri razionali e i numeri reali. Analizzando due insiemi semplici, vedremo perché l’estremo superiore può esistere nei reali ma non nei razionali, e cosa cambia se l’estremo è un numero razionale. È un ottimo punto di partenza per introdurre il concetto di completezza dell’insieme ℝ.

Se non hai ancora ben chiara la differenza tra estremo superiore, massimo e altri concetti simili, puoi leggere prima questa lezione completa su massimo, minimo, sup e inf con definizioni formali, esempi e spiegazioni visive.

🧩 Un esercizio fondamentale

Considera il seguente insieme di numeri razionali:

Questo insieme ha un estremo superiore nei numeri reali, ma non nei razionali. Come mai? E cosa accadrebbe, invece, se considerassimo l’insieme:

📌 Analisi del primo caso

L’insieme contiene tutti i numeri razionali il cui quadrato è strettamente minore di 5. Da un punto di vista reale, possiamo scrivere:

Quindi il suo estremo superiore reale è:

Ma non è un numero razionale. Quindi l’insieme A non ha estremo superiore in .

📌 Analisi del secondo caso

Consideriamo ora l’insieme:

Questo insieme è contenuto nell’intervallo reale:

Ma, a differenza del caso precedente, qui il limite superiore è un numero razionale:

Quindi, in questo caso, l’estremo superiore appartiene sia ai numeri reali che ai razionali.

📘 Conclusione

Questo esercizio mette in evidenza un punto fondamentale: l’insieme dei razionali non è completo. Esistono insiemi di razionali che hanno un estremo superiore nei reali, ma non nei razionali. La proprietà di completezza è infatti tipica dei numeri reali , ed è ciò che li rende lo “spazio naturale” dell’analisi matematica.