Partiamo da un fatto semplice: già conosciamo l’idea che un numero possa essere minore o maggiore di un altro. Confrontare numeri reali è una delle prime abilità che sviluppiamo in matematica: l’abbiamo fatta nostra risolvendo disequazioni e parlando di intervalli. Ma ora ci spingiamo un po’ oltre. Non vogliamo solo confrontare due numeri, ma descrivere interamente come un insieme reale può essere “contenuto” tra altri numeri. E lo faremo introducendo quattro concetti fondamentali: estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo.
🔹 Estremo Superiore
Definizione
Sia X ⊆ ℝ un insieme reale. Chiamiamo y ∈ ℝ estremo superiore di X, e scriviamo:
sup(X) = yse:
- y è un maggiorante di X, cioè per ogni x ∈ X risulta x ≤ y;
- nessun numero z < y è un maggiorante di X.
Se X non è limitato superiormente (es: X = ℝ), allora:
sup(X) = +∞🔹 Estremo Inferiore
Definizione
Sia X ⊆ ℝ un insieme reale. Chiamiamo y ∈ ℝ estremo inferiore di X, e scriviamo:
inf(X) = yse:
- y è un minorante di X;
- nessun numero z > y è un minorante di X.
Se X non è limitato inferiormente, allora:
inf(X) = −∞🧠 Un esempio per capire meglio
Considera X = (1, 10]. Allora:
- inf(X) = 1 (ma non è minimo)
- sup(X) = 10 (che è anche il massimo)
🟩 Massimo e minimo
Se l’estremo appartiene all’insieme, prende il nome di massimo o minimo.
Definizione (Massimo)
y ∈ ℝ è il massimo di X se:
max(X) = y ⇔ y = sup(X) ∧ y ∈ XDefinizione (Minimo)
y ∈ ℝ è il minimo di X se:
min(X) = y ⇔ y = inf(X) ∧ y ∈ XNota: un insieme può avere estremo superiore/inferiore anche se non ha massimo/minimo.
🔍 Esempi rapidi
- X = (1, 10]:
inf(X) = 1 (non minimo)
sup(X) = 10 (è anche massimo) - X = (−∞, 5):
sup(X) = 5 (non massimo)
inf(X) = −∞ - X = ℝ:
sup(X) = +∞
inf(X) = −∞
✅ Proprietà utili da ricordare
- Se A ≠ ∅, allora: inf(A) ≤ sup(A)
- Se A ⊆ B, allora:
inf(B) ≤ inf(A) ≤ sup(A) ≤ sup(B) - Se per ogni a ∈ A esiste b ∈ B tale che a ≤ b, allora: sup(A) ≤ sup(B)
- Se per ogni a ∈ A esiste b ∈ B tale che a ≥ b, allora: inf(B) ≤ inf(A)
📘 Conclusione
Estremo superiore e inferiore sono concetti chiave dell’analisi reale, alla base di limiti, successioni, integrali e altro ancora. Anche se all’inizio sembrano solo “termini tecnici”, con la pratica diventeranno strumenti intuitivi del tuo linguaggio matematico.
No responses yet