Disequazioni di secondo grado senza fare calcoli
In molti casi possiamo risolvere disequazioni con termini al quadrato senza svolgere passaggi algebrici complicati. Basta sfruttare la seguente idea chiave:
il quadrato di un numero reale è sempre maggiore o uguale a 0.
Nei seguenti esercizi useremo solo questo ragionamento sul segno, senza fare calcoli.
📌 Elenco delle disequazioni risolte (cliccabile)
- Esercizio 1: – (2x – 1)2 < 0
- Esercizio 2: (5x + 10)2 ≤ 0
- Esercizio 3: -10 ≥ (x + 2)2
- Esercizio 4: -2 (x + 4)2 ≥ 0
- Esercizio 5: 4 + √2 · x2 > 3
- Esercizio 6: 2x2 + 5 > x2 + 2
- Esercizio 7: -3(x + 2)2 – 5x2 < 10
- Esercizio 8: (x + 1)2 + (2 – x)2 > 0
- Esercizio 9: 7 + (2x + 6)2 > 4
- Esercizio 10: -5 < 4 + 3x2
- Esercizio 11: – (x – 2)2 ≤ (x + 1)2
- Esercizio 12: (1 – √3)(7x – 1)2 ≥ (5x2 + 1)
Esercizio 1:
Risolvi la disequazione – (2x – 1)2 < 0.
Spiegazione:
Il quadrato (2x – 1)2 è sempre maggiore o uguale a 0 e si annulla solo per 2x – 1 = 0, cioè per x = 1/2.
Con il segno meno davanti otteniamo una quantità minore o uguale a 0.
La disequazione chiede che il risultato sia strettamente minore di 0, quindi dobbiamo escludere il punto in cui l’espressione vale 0.
📝 Soluzione
x ≠ 1/2
Esercizio 2:
Risolvi la disequazione (5x + 10)2 ≤ 0.
Spiegazione:
Spiegazione:
Un quadrato (nei numeri reali) è sempre maggiore o uguale a 0.
Quindi può essere ≤ 0 solo quando è proprio uguale a 0 (non può essere negativo!).
In questo caso (5x + 10)2 = 0 soltanto se 5x + 10 = 0, cioè per x = -2.
📝 Soluzione
x = -2
Esercizio 3:
Risolvi la disequazione -10 ≥ (x + 2)2.
Spiegazione:
(x + 2)2 è sempre ≥ 0.
Non può quindi essere ≤ -10 (numero negativo).
Questa disequazione è impossibile nei numeri reali.
📝 Soluzione
nessuna soluzione reale (∅)
Esercizio 4:
Risolvi la disequazione -2 (x + 4)2 ≥ 0.
Spiegazione:
Il termine (x + 4)2 è un quadrato, quindi nei numeri reali non può mai essere negativo: è sempre ≥ 0.
Se lo moltiplichiamo per -2, il risultato diventa negativo o uguale a zero.
La disequazione chiede che il risultato sia ≥ 0: l’unico valore della x che risolve la disequazione, è quello per cui il primo membro si annulla.
Questo succede solo quando il quadrato vale 0, cioè quando (x + 4) = 0 e quindi x = -4.
📝 Soluzione
x = -4
Esercizio 5:
Risolvi la disequazione 4 + √2 · x2 > 3.
Spiegazione:
x2 è sempre ≥ 0, quindi anche √2 · x2 è sempre ≥ 0 (la radice di 2 è positiva).
Allora 4 + √2 · x2 è sempre ≥ 4.
E siccome 4 > 3, la disequazione è sempre vera.
📝 Soluzione
la disequazione è verificata per ogni x ∈ ℝ
Esercizio 6:
Risolvi la disequazione 2x2 + 5 > x2 + 2.
Spiegazione:
2x2 è sempre ≥ x2.
E inoltre 5 è maggiore di 2.
Quindi il membro sinistro è sempre maggiore del membro destro.
📝 Soluzione
la disequazione è verificata per ogni x ∈ ℝ
Esercizio 7:
Risolvi la disequazione -3(x + 2)2 – 5x2 < 10.
Spiegazione:
(x + 2)2 e x2 sono sempre ≥ 0.
Con i segni meno davanti, i due termini sono sempre ≤ 0.
Quindi il primo membro è sempre ≤ 0, e quindi sicuramente < 10.
📝 Soluzione
la disequazione è verificata per ogni x ∈ ℝ
Esercizio 8:
Risolvi la disequazione (x + 1)2 + (2 – x)2 > 0.
Spiegazione:
La somma di due quadrati è sempre ≥ 0.
Per essere 0 dovrebbero valere 0 entrambi, cioè servirebbe x = -1 e x = 2 insieme: impossibile.
Quindi la somma è sempre > 0.
📝 Soluzione
la disequazione è verificata per ogni x ∈ ℝ
Esercizio 9:
Risolvi la disequazione 7 + (2x + 6)2 > 4.
Spiegazione:
(2x + 6)2 è sempre ≥ 0, quindi il primo membro è sempre ≥ 7.
E siccome 7 > 4, la disequazione è sempre vera.
📝 Soluzione
la disequazione è verificata per ogni x ∈ ℝ
Esercizio 10:
Risolvi la disequazione -5 < 4 + 3x2.
Spiegazione:
3x2 è sempre ≥ 0, quindi 4 + 3x2 è sempre ≥ 4.
E siccome -5 < 4, la disuguaglianza è sempre vera.
📝 Soluzione
la disequazione è verificata per ogni x ∈ ℝ
Esercizio 11:
Risolvi la disequazione – (x – 2)2 ≤ (x + 1)2.
Spiegazione:
– (x – 2)2 è sempre ≤ 0.
(x + 1)2 è sempre ≥ 0.
Quindi il primo membro è sempre ≤ del secondo.
📝 Soluzione
la disequazione è verificata per ogni x ∈ ℝ
Esercizio 12:
Risolvi la disequazione (1 – √3)(7x – 1)2 ≥ (5x2 + 1).
Spiegazione:
1 – √3 è negativo (dato che ad 1 sto sottraendo la radice di 3 che è circa 1.73) e (7x – 1)2 è sempre ≥ 0, quindi il prodotto al primo membro è sempre ≤ 0 (ricordati della regola dei segni in un prodotto).
Invece 5x2 + 1 è sempre > 0.
Quindi una quantità ≤ 0 non può essere ≥ di una quantità positiva: è impossibile nei numeri reali.
📝 Soluzione
nessuna soluzione reale (∅)
No responses yet